如何证明二元函数的可微性
判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。关键词:二元函数连续偏导数可微方向导数对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。首先,对于以一元函数,比较简单,可微一定可导,可导一定可微.对于多元函数：偏导数存在不一定可微,可微一定存在偏导.（还有,偏导数存在时函数不一定连续）二元函数,可微的充要条件是z=f(x,y)在（Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在且{Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y(x0,y0)k]}/ρ=0(ρ→0)其中k=Δxh=Δyρ=就是动点和定点的距离,那个式子根下(x-xo)2+(y-yo)2
如何判断二元函数有界性？如图中的式子，如何判断其有界性？
以下用x^2表示x的平方,sqrt(x)表示x的算术平方根。
解:x^2+(arctany)^2-2|xarctany|
=(|x|-|arctany|)^2
因此2|xarctany|≤x^2+(arctany)^2.
在x、y不全为0的情况下,上式两边同除以右边得
2|xarctany|/(x^2+(arctany)^2)≤1
即|xarctany|/(x^2+(arctany)^2)≤1/2
显然上式左边不小于0。
所以0≤sqrt(|xarctany|/(x^2+(arctany)^2))≤sqrt(2)/2。
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